–Ш–Ј –і–Њ–Љ–Њ–і–µ–і–Њ–≤–Њ –≤ —И–µ—А–µ–Љ–µ—В—М–µ–≤–Њ —В—А–∞–љ—Б—Д–µ—А.

–ешение задач по математике. ѕодготовка к выполнению курсовой работы  онтрольна€ по математике

ћетод замены переменной (интегрирование подстановкой)

Ќиже рассмотрены некоторые часто встречающиес€ интегралы и примен€емые дл€ их вычислени€ подстановки.

1. “ригонометрические подстановки , , †примен€ютс€ в тех случа€х, когда подынтегральное
выражение содержит радикалы , , †или их степени.

ѕ–»ћ≈– 1. ¬ычислить .

–≈Ў≈Ќ»≈. ѕоложим , . “огда , , , . »меем

, отсюда получаем

.

ѕ–»ћ≈– 2. ¬ычислить .

–≈Ў≈Ќ»≈. ѕоложим , . “огда , , , †и

.

¬озвраща€сь к первоначальной переменной †(пункт 5 алгоритма), выразим сначала †через :

.

ќтсюда .

2. »ногда по структуре подынтегрального выражени€ удаетс€
догадатьс€ не о самой подстановке , а о виде функции †Ц обратной дл€ †Ц с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.

ѕ–»ћ≈– 3. ¬ычислить .

–≈Ў≈Ќ»≈. ѕолагаем , тогда †и .
ѕоэтому имеем

.

3. –ассмотрим интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе, †и†, в случае, когда †(трехчлен не разлагаетс€ на действительные множители).

¬ыделим полный квадрат в трехчлене:

,† .

ѕоложим , тогда , , .
ќтсюда†

.

«десь использованы табличные интегралы 2 и 12 и проведен переход к первоначальной переменной интегрировани€ .

јналогично

.

«десь использованы табличные интегралы 1 и 15 и совершен переход к переменной интегрировани€ .

»нтеграл вида †в случае †и дл€ тех , при которых , вычисл€етс€ аналогично: . ѕолага€ , †и использу€ формулы 1 и 14, имеем

.

ѕолученные общие формулы не следует запоминать, целесообразно каждый раз проводить соответствующие выкладки подробно.

ѕ–»ћ≈– 4. ¬ычислить .

–≈Ў≈Ќ»≈. ѕриводим интеграл †к виду интеграла : . ¬ыделим полный квадрат в трехчлене знаменател€ . ѕолага€ , получим †и

.

4. ѕри интегрировании интеграла вида

,† ;††Ц произвольные
числа, целесообразна так называема€ "обратна€ подстановка" ; она приводит интеграл †к интегралу "более простого
вида" Ц без множител€ перед корнем в знаменателе. ѕокажем это на конкретном примере.

ѕ–»ћ≈– 5. ¬ычислить .

–≈Ў≈Ќ»≈. ѕри , , †имеем

.

ѕолучим интеграл вида ; дл€ его вычислени€ преобразуем
трехчлен

.

ќкончательно

.

ƒалее указаны примеры других подстановок, упрощающих
исходные интегралы.

ѕроверить, €вл€етс€ ли векторное поле силы †потенциальным или соленоидальным. ¬ случае потенциальности пол€ найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы †при перемещении единичной массы из точки†M(0,1,0) в точку N(Ц1,2,3).

–≈Ў≈Ќ»≈. ѕоследовательно проведем следующие преобразовани€: . ¬оспользуемс€ формулой †при †и получим окончательно . Ќо тогда .

»нтегрирование тригонометрических функций вида

 

»нтегрирование по част€м ѕ–»ћ≈– 1. ¬ычислить . –≈Ў≈Ќ»≈. ¬ыберем , †и проведем вычислени€ согласно (*) (обращаем внимание на возможный вариант записи этих вычислений).

»ногда формула позвол€ет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. ѕолученное равенство €вл€етс€ уравнением относительно искомого интеграла. –ешив это уравнение, вычислим интеграл. »нтегралы такого типа называют возвратными.


Ќа главную