работа для девушек

Примеры решения задач контрольной работы по математике

Пример 6. Вычислить работу векторного поля  вдоль линии , являющейся пересечением параболического цилиндра  с плоскостью  от точки  до точки .

Решение:

Зададим линию  параметрически: положив , получим , а . Тогда , , . Точке  соответствует значение параметра , а точке ‑ значение .

Таким образом:

.

Пример 7. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами .

Решение:

По определению циркуляции , получаем

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

Следовательно,  

Пример 8. Найти циркуляцию вектора  по контуру  непосредственно и по формуле Стокса.

Решение:

I способ.

Контур  - окружность радиуса , лежащая в плоскости . Выберем ориентацию как показано на рисунке, т.е. против часовой стрелки. Параметрические уравнения окружности имеют вид , так что

II способ.

Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность , натянутую на контур . Естественно в качестве  взять круг, имеющий контур  своей границей. Уравнение поверхности  имеет вид: . Согласно выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной .

Далее .

В силу теоремы Стокса


На главную