Вычисление площадей фигур. Физические приложения интегралов

Начертательная геометрия

Примеры выполнения заданий

Практика выполнения технических чертежей

Основные геометрические фигуры

Прямая и точка на плоскости

Построить сечение пирамиды

Чертежи

Замена плоскостей проекций

Виды

Аксонометрические проекции

Дизайн интерьера

Интерьеры дворцов Палладио и Виченце

Художественный театр

Эпоха классицизма в России

Интерьер детского сада в Марсельском доме

Свет как компонента архитектурного языка

Архитектура

Градостроительная наука

Разработка интерьера

Ландшафтно-климатические требования

Атриумные здания

Здание школы танцев Парижской оперы

Физика

Электромагнитное взаимодействие

Фотоядерные реакции

Электротехника

Атомная энергетика

Математика

Примеры решения задач

Операционное исчисление

Курсовой расчет

Контрольная работа

Задачи на интеграл

Вычисление площадей фигур

Вычисление объема тела

Лабораторные работы

Информатика

Теоретическая механика

Зубчатые механизмы

Подвижный шарнир

Сопротивление материалов

Сопротивление усталости

Лабораторная работа

Испытание на сжатие

Испытание материалов на выносливость

Проверка теории изгибающего удара

Электротехника

  Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом ,   

  Найти площадь астроиды

  Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды ,   и осью

Вычислить площадь фигуры,  ограниченной кривой , .

  Найти площадь петли кривой:  ; 

  Вычислить площадь, содержащуюся внутри кардиоиды:   ;  

Площадь в полярных координатах

Найти площадь фигуры,   лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и 

  Найти площадь фигуры, лежащей вне круга   и ограниченной кривой  Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами

  Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и

Найти площадь фигуры,  вырезаемой окружностью   из кардиоиды 

 Найти площадь петли декартова  листа

  Физические приложения поверхностных интегралов

  Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

Найти  массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где

Найти  массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

 Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ₀.

 Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x² + y² + z² = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ₀ относительно оси Oz.

  Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ₀ радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

  Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

  Физические приложения тройных интегралов

  Найти центроид однородного полушара радиусом R.

  Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z

  Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

  С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?

 Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью

Теорема Стокса

  Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Используя теорему Стокса, найти  криволинейный интеграл .

  Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса.

  Найти интеграл с использованием теоремы Стокса

  Поверхностные интегралы первого рода

  Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте

Вычислить интеграл , где S представляет собой   полную поверхность конуса .

 Вычислить интеграл , где S − часть конуса внутри поверхности .

 Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.

  Вычислить интеграл . Поверхность S задана параметрически в виде.

  Поверхностные интегралы второго рода

Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода   от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм

  Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

  Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

  Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .

 Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде .

  Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .

  Тройные интегралы в декартовых координатах

  Вычислить интеграл

 Вычислить тройной интеграл где область U ограничена поверхностями

  Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами.

Тройные интегралы  в цилиндрических координатах

  Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностью x² + y² ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

  Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностями x² + y² = 3z, z = 3

  Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

 Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты:

 Найти интеграл где область U ограничена плоскостями z = x + 1, z = 0 и цилиндрическими поверхностями x² + y² = 1, x² + y² = 4

  Тройные интегралы в сферических координатах

  Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x² + y² + z² = 25.

  Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x² + y² + z² ≤ R², расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

  Найти тройной интеграл где область U ограничена эллипсоидом

 Вычислить интеграл используя сферические координаты