Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
,
Найти площадь астроиды 
Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
,
и осью
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной кривой
,
.
Найти площадь петли кривой:
; 
Вычислить площадь, содержащуюся внутри кардиоиды:
;
Площадь
в полярных координатах
Найти площадь фигуры,
лежащей в первой четверти и ограниченной параболой
и прямыми
и 
Найти площадь фигуры, лежащей вне круга
и ограниченной кривой
Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями
и
Найти площадь фигуры,
вырезаемой окружностью
из кардиоиды 
Найти площадь петли декартова
листа 
Физические приложения поверхностных интегралов
Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m
определяется выражением
Найти массу цилиндрической
оболочки, заданной параметрически в виде
,
где
Найти
массу параболической
оболочки, заданной уравнением
и имеющей плотность
.
Найти центр
масс части сферической оболочки
,
расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.
Вычислить момент
инерции однородной сферической оболочки x2 + y2
+ z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0
относительно оси Oz.
Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0
радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной
в начале координат.
Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке
6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.
Физические приложения тройных интегралов
Найти центроид однородного полушара радиусом R.
Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью
ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z
Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна
квадрату расстояния от центра.
С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку
массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?
Пусть планета
имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью
Теорема
Стокса
Показать, что криволинейный интеграл
равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.
Используя теорему
Стокса, найти криволинейный
интеграл
.
Вычислить криволинейный интеграл
,
используя теорему Стокса.
Найти интеграл
с использованием теоремы Стокса
Поверхностные интегралы первого рода
Вычислить поверхностный интеграл
,
где S − часть плоскости
,
лежащая в первом октанте
Вычислить интеграл
,
где S представляет собой
полную поверхность конуса
.
Вычислить интеграл
, где S
− часть конуса
внутри поверхности
.
Найти интеграл
, где поверхность
S − часть сферы
,
лежащая в первом октанте.
Вычислить интеграл
.
Поверхность S задана параметрически в виде
.
Поверхностные интегралы второго рода
Если поверхность
S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y)
− дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный
интеграл второго рода
от векторного поля
по поверхности S записывается в одной из следующих форм
Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля
по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением
,
где
.
Оценить поток векторного поля
через коническую поверхность
,
ориентированную внешней стороной.
Оценить поток векторного поля
через внутреннюю сторону единичной сферы
.
Вычислить интеграл
, где S
− часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде
.
Найти интеграл
,
где S − внутренняя поверхность сферы
.
Тройные интегралы в декартовых координатах
Вычислить интеграл
Вычислить тройной
интеграл
где область U
ограничена поверхностями
Выразить тройной интеграл
через повторные интегралы шестью различными способами.
Тройные
интегралы в цилиндрических
координатах
Вычислить интеграл
где область U ограничена поверхностью x2 + y2
≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1
Вычислить интеграл
где область U ограничена поверхностями x2 + y2
= 3z, z = 3
Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла
Вычислить интеграл,
используя цилиндрические координаты:
Найти интеграл
где область U ограничена
плоскостями z = x + 1, z = 0 и цилиндрическими поверхностями x2
+ y2 = 1, x2 + y2 = 4
Тройные интегралы в сферических координатах
Найти интеграл
,
где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2
+ y2 + z2 = 25.
Вычислить интеграл
xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x2
+ y2 + z2 ≤ R2, расположенную
в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Найти тройной интеграл
где область U ограничена эллипсоидом
Вычислить интеграл
используя сферические
координаты