Функциональная зависимость Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа.
Числовая последовательность и её предел
Непрерывность функции Пример. Исследовать на непрерывность функцию
Производная Определение производной возникло в результате абстракции из большого числа разнообразных задач геометрического, физического, экономического содержания. Среди них выделяют задачу о касательной, задачу о мгновенной скорости, задачу о производительности труда.
Дифференциал Пример. Найти приращение и дифференциал функции
при
и
Приложения производной Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция
достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке
этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть
.
Правило Лопиталя используется при вычислении пределов и служит для раскрытия неопределённостей типа
или
.
Исследование функций с помощью производной Пример. Найти интервал монотонности функции
Задачи на максимум и минимум Приведём примерные планы решения текстовых задач на экстремум:
Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба
1. Найти вторую производную функции
.
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. Если вторая производная будет менять свой знак с плюса на минус или с минуса на плюс в исследуемой точке, то эта точка будет точкой перегиба. Если вторая производная знака не меняет, то точек перегиба нет.
Исследуем функцию на непрерывность. Функция непрерывна в области определения как частное двух непрерывных функций. Вертикальных асимптот нет.
Вычислить неопределённый интеграл — это значит найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.
Метод интегрирования по частям Пример. Вычислить интеграл
.
Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. Пример. Вычислить интеграл
.
Интегрирование некоторых классов функций Вычислить интеграл
.
Интегрирование некоторых видов иррациональностей При интегрировании иррациональных функций основная задача заключается в выборе такой подстановки, которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное, то есть рационализирует его.
Определённый интеграл и его вычисление Вычислить
.
Несобственные интегралы Пример. Вычислить или доказать расходимость интеграла
.
Функции нескольких переменных Найти область определения функции
.
Предел и непрерывность Пример 1. Вычислить предел
.
Частные производные высших порядков Пример. Доказать, что функция
удовлетворяет соотношению
.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Пример. Найти значение функции
в точке
.
Пример. Найти частные производные функции
Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную
Сложная функция нескольких переменных и ее дифференцирование. Полный дифференциал Цель занятия. Научить студентов дифференцировать сложные функции двух переменных, находить частные и полные производные, полные дифференциалы.
Пример. Найти полный дифференциал функции
.
Дифференцирование функции нескольких переменных
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Пример. Вычислить приближенно значение
, исходя из значения функции
при x = 1, y = 2, z = 1.
Экстремум функции нескольких переменных Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0.
Производная по направлению Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора
. В (3, 0).
Найти области определения функций
Кратные интегралы. Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Замена переменных в двойном интеграле
Тройной интеграл. При рассмотрении тройного интеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.
Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Вычисление площадей в декартовых координатах. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
Теория функций комплексных переменных Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.
Производная функций комплексного переменного
Ряды Тейлора и Лорана Пример. Найти вычет функции
относительно точки z = 2.
Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.
Криволинейные интегралы Пример. Вычислить интеграл
по одному витку винтовой линии
Формула Остроградского – Грина
Свойства поверхностного интеграла первого рода
Элементы теории поля Пример. Найти
, если
