Примеры решения задач типового (курсового) расчета по математике

Начертательная геометрия
Примеры выполнения заданий
Практика выполнения технических чертежей
Основные геометрические фигуры
Прямая и точка на плоскости
Построить сечение пирамиды
Чертежи
Замена плоскостей проекций
Виды
Аксонометрические проекции
Дизайн интерьера
Интерьеры дворцов Палладио и Виченце
Художественный театр
Эпоха классицизма в России
Интерьер детского сада в
Марсельском доме

Свет как компонента архитектурного
языка

Архитектура
Градостроительная наука
Разработка интерьера

Ландшафтно-климатические требования

Атриумные здания

Здание школы танцев Парижской оперы

Физика
Электромагнитное взаимодействие
Фотоядерные реакции
Электротехника
Атомная энергетика
Математика
Примеры решения задач
Операционное исчисление
Курсовой расчет
Контрольная работа
Задачи на интеграл
Вычисление площадей фигур
Вычисление объема тела
Лабораторные работы
Информатика
Теоретическая механика
Зубчатые механизмы
Подвижный шарнир
Сопротивление материалов
Сопротивление усталости
Лабораторная работа
Испытание на сжатие
Испытание материалов на выносливость
Проверка теории изгибающего удара
Электротехника
 

Числовые ряды в действительной области

Критерий Коши (для числового ряда)

Ряды с положительными слагаемыми Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство 4,  ).

Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда – через "ограниченность" частичных сумм ; .

Тоерема признак Д'Аламбера

Знакопеременные ряды Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.

Определение абсолютной сходимости ряда

Типовые задачи

Задача . Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

Числовые ряды в комплексной области Всякому комплексному числу , где  и  – действительные числа, ставится в соответствие точка  на плоскости. Множество всех комплексных чисел  обозначается через  и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с комплексными числами рассмотрены ранее

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

Числовые рады в ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Функциональные ряды Пусть  – последовательность функций , все члены которой определены на одном и том же множестве значений аргумента , .

Пример решение задачи

Равномерная сходимость ряда

Теоремы о свойствах суммы равномерно сходящихся функциональных рядов

Теорема о почленном интегрировании

Функциональные ряды в комплексной области

Степенные ряды Поточечная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . (1)

Пример . Найдем область сходимости степенного ряда , используя известную структуру его области сходимости.

Равномерная сходимость

Разложение функций в степенные ряды Пример Пусть

Рассмотрим ряд , можно вычислить радиус сходимости , т.е. на  . После почленного дифференцирования получим , т.е. функция  – решение задачи Коши ДУ  или .

Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня ""-й степени, обычно тоже называются элементарными

Рациональные ФКП Вычислить приближенно .

Гиперболические ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА

Вычислить .

Тригонометрические ряды терменология. Постановка задачи

Разложение функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы" и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться эффективным представление их тригонометрическими рядами.Периодические функции

Гармоники Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники) – функции вида

Условия разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем  или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей  и  при .

Достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом ее гладкостью на промежутке периодичности.

Тригонометрические ряды Фурье четных и нечетных функций

Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример. Разложить функцию ,  в ТРФ, доопределив ее четным образом на .

Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим –периодическую функцию , ( – время), удовлетворяющую условиям разложимости в ТРФ Обозначим .

Пример. Разложить  – периодическую функцию , заданную на  соотношением  в ТРФ в комплексной форме.

Для функции предыдущего примера построить ее частотные спектры

Понятие функции комплексной переменной. Простейшие свойства определение ФКП Пример.

Показать по определению

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП   непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций  и  непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Пример. Построить область, ограниченную линиями: ; ;

Дифференцирование ФКП Определение производной ФКП

Условия дифференцируемости ФКП С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).

Пример. Показать, что ФКП  всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.

Аналитичность ФКП Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр. АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной переменной. Однозначная ФКП   называется аналитической (иначе регулярной) в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте

Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП

Пример. Вычислить интеграл , где  – отрезок, соединяющий точки   и .

Интегрирование аналитической ФКП. Теорема Коши Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).

Пример. Вычислить интеграл ,  – целое.

Интегральная формула Коши Пусть ФКП  – аналитическая в односвязной области , произвольный контур   "погружен" в ,  – произвольная точка внутри . Тогда в этой точке  значение ФКП  определяется через значения  на контуре  по интегральной формуле

Классификация особых точек ФКП

Разложение ФКП в ряд Тейлора Пример. Разложить в ряд ФКП  по степеням .

Разложение ФКП в ряд Лорана Пусть однозначная ФКП  является аналитической функцией внутри кольца  между окружностями  и   с центром ; пусть   – произвольная точка этого кольца.

Пример. Убедиться, что для ФКП  ряд Лорана по степеням   состоит из конечного числа слагаемых.

Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции  в ряды Лорана по степеням . Найти эти разложения.

Классификация изолированных особых точек ФКП Пример.

Показать, что функция  имеет УОТ .

Пример Показать, что для ФКП  точка  – полюс второго порядка, точка  – полюс первого порядка.

Интегрирование ФКП с помощью вычетов Вычет ФКП в особой точке, его вычичление Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП и ее приложениях.

Пример. Вычислить вычеты ФКП

Основная теорема о вычетах Пусть ФКП  аналитическая на границе  области  и внутри этой области за исключением конечного множества изолированных особых точек . Построим около каждой особой точки  контур  так, чтобы внутри  была только одна особая точка ; контуры не пересекались; все контуры   были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает

Пример Для  убедиться в выполнении равенства

Вычислить .

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП

Вычисления несобственного интеграла вида

Вычислить .

Лемма Жордана

Вычисления несобственного интеграла вида

Вычислить .

Вычисление интегралов вида